Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 8 & 7 \\ 2 & 2 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$8 \cdot 2 - 2 \cdot 7$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$16 - 2 \cdot 7$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$16 - 14$

Étape 2.2.2

Soustrayez $14$ de $16$ .

$2$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{2} [\begin{array}{c} 2 & - 7 \\ - 2 & 8 \end{array}]$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{2}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot 2 & \frac{1}{2} \cdot - 7 \\ \frac{1}{2} \cdot - 2 & \frac{1}{2} \cdot 8 \end{array}]$

Étape 6

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \cdot 2 & \frac{1}{2} \cdot - 7 \\ \frac{1}{2} \cdot - 2 & \frac{1}{2} \cdot 8 \end{array}]$

Étape 6.1.2

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} \cdot - 7 \\ \frac{1}{2} \cdot - 2 & \frac{1}{2} \cdot 8 \end{array}]$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 7$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{- 7}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot - 2 & \frac{1}{2} \cdot 8 \end{array}]$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{7}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot - 2 & \frac{1}{2} \cdot 8 \end{array}]$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{7}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1)) & \frac{1}{2} \cdot 8 \end{array}]$

Étape 6.4.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{7}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) & \frac{1}{2} \cdot 8 \end{array}]$

Étape 6.4.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{7}{2} \\ - 1 & \frac{1}{2} \cdot 8 \end{array}]$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{7}{2} \\ - 1 & \frac{1}{2} \cdot (2 (4)) \end{array}]$

Étape 6.5.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{7}{2} \\ - 1 & \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4) \end{array}]$

Étape 6.5.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{7}{2} \\ - 1 & 4 \end{array}]$